MATEMATIKA INFORMATIKA 3

Tugas Kelompok Matematika Informatika 3

Bab 3 : Logika Pembuktian 

KELOMPOK 3

2IA03

Anggota Kelompok 3 :

ADI HIDAYATULLAH         50414232

BAYU ABDUL HAFIZH      52414047

BERTIMIRA LESTARI       52414146

M HARIS YUNANDAR      56414237

M ILHAM AFEMI               57414327

M THAMRINALDI APRY   57414567

RAY CEVAZ RIZQIE         5C414837
RIO OKTAVIANO              59414462
WAFIDDIN NAUFAL         5C414112

TEKNIK INFORMATIKA 2014

UNIVERSITAS GUNADARMA

Soal 1

Jika diketahui n adalah ganjil, maka n²  adalah .....

A. Ganjil

B. Genap

C. konstanta

D. A dan B benar

E. Tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : A. Ganjil

Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga 

n = 2k + 1. Akan ditunjukkan bahwa n² ganjil.

n² = (2k + 1)²

     = 4k² + 4k + 1

     = 2(2k² + 2k) +1.

Perhatikan bahwa n² = 2(2k² + 2k) +1.Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k² + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n² adalah ganjil.

Soal 2

Pernyataan berikut yang sesuai dengan metode pembuktian kontradiksi adalah…

A. Jika p benar maka q benar

B. Jika ~q benar maka ~p juga harus benar

C. Membuat permisalan jika p maka q adalah benar

D. Suatu pembuktian untuk pernyataan yang memuat bilangan asli

E. Tidak ada jawaban yang benar 

Jawaban : A. Membuat Permisalan jika p maka q adalah benar

Kontradiksi ialah dua hal dimana kedua hal tersebut tidak boleh sama sama benar dalam waktu yang sama. Jadi, kita buat pemisalan jika p salah , q benar. Jika kita buat ke dalam operasi logika p maka q (p → q) maka hasil yang didapat adalah benar.

Soal 3

Yang manakah yang termasuk dalam metode  pembuktian tidak langsung…

A. Metode kontraposisi

B. Metode Disjungsi

C. Metode Equivalen

D. Metode Ingkarang

E. Metode Eliminasi

Jawaban : A. Metode kontraposisi

Karena metode kontraposisi termasuk metode pembuktian tidak langsung. 

Soal 4

Bertikut ini adalah pernyataan yang benar mengenai prinsip induksi sederhana, kecuali.....

A. N ≥ 1 untuk bilangan bulat positif

B. P(1) bernilai benar

C. P(n+1) harus bernilai benar

D. N ≥ 1 untuk bilangan ganjil

E. P(n) harus bernilai benar

Jawaban : D. N ≥ 1 untuk bilangan ganjil

Karena, salah satu ciri dari induksi sederhana adalah N ≥ 1 untuk bilangan bulat positif, sementara pada pilihan D hanya untuk bilangann ganjil.

Soal 5

Apakah N³ + 2n adalah kelipatan 3 berlaku untuk n = 1 dan berlaku kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat postitif n (menggunakan induksi matematika)…?

A. ya dan ya

B. ya dan tidak

C. tidak dan bisa jadi

D. tidak dan tidak

E. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : A. Ya dan ya

q Basis untuk n = 1 akan diperoleh :

               13 + 2(1) = 3 yang merupakan kelipatan 3 (ya, berlaku n = 1)

q induksi (misalkan) untuk n = k asumsikan menjadi k³ + 2k = 3x

q adib untuk n = k + 1 berlaku :

               (k + 1)³ + 2(k + 1) adalah kelipatan 3

               (k³ + 3k² + 3k+1) + 2k + 2

               (k³ + 2k) + (3k² + 3k + 3)

               (k³ + 2k) + 3 (k² + k + 1)

               induksi 

               3x + 3 (k² + k + 1)

               3 (x + k² + k + 1)

Kesimpulan : N³ + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat positif n (ya, berlaku kelipatan 3).

Soal 6

Terdapat implikasi : Jika 15 habis dibagi 3, maka 15 adalah bilangan ganjil. kemudian 15 habis dibagi 3. Kesimpulannya adalah...

A. 15 habis dibagi 3

B. 15 adalah bilangan ganjil 

C. 3 adalah bilangan ganjil

D. 3 habis dibagi 3

E. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : B. 15 adalah bilangan ganjil

Jika 15 habis dibagi 3, maka 15 adalah bilangan ganjil (p → q)

15 habis dibagi 3                                                                    (p         )

∴   15 adalah bilangan ganjil                                               (         q)

Soal 7

misalkan p(n) benar untuk semua bilangan positif n ≥ 1 untuk bilangan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1). p(n + 1) bernilai...

A. Benar

B. Salah

C. A dan B benar

D. A dan B salah

E. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : A. Benar

jika p(n + 1) benar, maka :

n = n + 1

2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)

2 + 4 + 6 + ... + 2n + 2(n + 1) = n + 1(n + 1 + 1)

2n + 2n + 2 = (n + 1) (n + 2)

2n + 2n + 2 = n (n + 1) + 2n + 2

                      = n² + n + 2n + 2

                      = n² + 3n + 2 

                      = (n + 1) (n + 2) Terbukti Benar.

Soal 8

Penyelesaian dari 6x + 8y = 21 dan 3x + 4y = 7 dengan metode eleminasi adalah...

A. 7 = 2

B. 1 = 7

C. 0 = 7

D. 7 = 1

E. 2 = 7

Jawaban : C. 0 = 7

6x + 8y = 21   -->  6x + 8y = 21

3x + 4y = 7     -->  6x + 8y = 14 (persamaan kedua dikalikan dengan 2)

                                            0 = 7

Soal 9

Jika diketahui m, n adalah kuadrat sempurna, maka terbuktik bahwa mn

adalah ...

A. bukan kuadrat sempurna

B. kuadrat sempurna

C. Konstanta

D. A dan C benar

E. Tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : B. kuadrat sempurna

Misalkan m, n adalah kuadrat sempurna, artinya

m = k², n = p² untuk suatu k, p bilangan bulat.

mn = (k²)(p²)

      = (kp)²

Karena k, p

Soal 10

Dibawah ini pernyataan yang benar tentang metode pembuktian langsung adalah ...

A. 3 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2

B. 4 adalah bilangan genap sebab terdapat 1

C. 5 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2

D. A, B, dan C benar

E. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : C. 5 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2

Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GANJIL jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga

n = 2k + 1.

5 = 2(2) + 1

5 = 4 + 1

5 = 5